医療工学解説-ホイートストンブリッジ・電力

国家試験で出題されるホイートストンブリッジと電力計算について解説します!これらの計算が苦手な方は見る価値ある……かも?

※スマホから閲覧している場合,数式をスクロールできます。

各見出しの重要度は,過去の臨床検査技師国家試験(第52回~最新回まで)の出題率や覚えやすさなどを考慮して主観で表記しています。国家試験を受ける学生以外の方は無視してかまいません。

ホイートストンブリッジ(重要度:★★★☆☆)

ペンギンくん
ペンギンくん
  ホイートストンブリッジ?何それ?
言葉だと説明しづらいから,図を見てもらえる?
おるてぃ
おるてぃ
ホイートストンブリッジとは,直列2個の抵抗が並列接続されていて,並列回路の途中で,1つの導線によって再結合している回路のことです。

図1

図1 ホイートストンブリッジ

この回路で,並列抵抗間(a-b間)が等電位,つまり,導線a-b間に流れる電流が0のとき,以下のような式が成り立ちます。
※なお,この条件を平衡条件といい,平衡条件を満たしている状態を平衡状態といいます。

【平衡状態のホイートストンブリッジで成り立つ公式】
$$R_1\times R_4=R_2\times R_3$$
(a-b間を流れる電流I=0のとき)

これはつまり,抵抗値を斜めに掛け合わせた値が等しいということです。

図2

ペンギンくん
ペンギンくん
  へぇ~,面白いね!
覚えることは意外と単純だからさくっと覚えてしまおう!
おるてぃ
おるてぃ
なお,a-b間に抵抗があったとしても,平衡状態のときは,その抵抗を無視することができます

この公式が成り立つ理由についてはここでは言及しません。気になる方は,「ホイートストンブリッジ」で検索してみてください。(いろいろな方が詳しく説明してくださっています)

次は,実際に数値を入れた状態で見てみましょう。

例題1:回路図を図2に示す。検流計を流れる電流が0μAのとき,抵抗Rの抵抗値[Ω]はいくらか。

図3

図2

回路中のGは検流計で,微弱な電流を検出するのに使われます。
並列抵抗間に流れる電流が0(=平衡状態)であるため,上記の式より,$$100\times R=80\times 150$$

$$R=120Ω$$

となります。

電力計算(重要度:★★★☆☆)

基本的な電力の求め方 

ペンギンくん
ペンギンくん
  電力って何?
簡単に言えば,1秒間に電気器具が消費するエネルギーのことだよ。
おるてぃ
おるてぃ
ペンギンくん
ペンギンくん
  電圧や電流ならオームの法則で求められるけど,電力ってどうやって求めるの?
実は,その電圧と電流から求めることができるんだ。
おるてぃ
おるてぃ

電力とは,単位時間に電流がする仕事量のことです。ただ,この意味を覚えるよりも,実際に電力を求める公式を覚えておきましょう。

【電力】
$$P=EI$$
P:電力[W]
E:起電力(電圧)[V]
I:電流[A]

公式自体は簡単で,電圧と電流の積から電力を求めることができます。

実際に回路を見てみましょう。

例題2:回路図を図3に示す。豆電球の消費電力[W]はいくらか。

図3

図3

は豆電球を示しています。この豆電球の消費電力を求めてみましょう。
まずは,回路を流れる電流Iをオームの法則で求めます。
(オームの法則については医療工学解説-電気回路を参照)

$$I=\frac{20}{10}=2\,\mathrm{A}$$

電流を求められましたので,最後に,電圧と電流を掛け合わせます。よって,

$$P=EI=20\times 2=40\,\mathrm{W}$$

となります。

ねっ,簡単でしょ?
おるてぃ
おるてぃ
ペンギンくん
ペンギンくん
  なんかオームの法則とごっちゃになりそう……。
あやふやだと大変なことになるから,しっかり区別して覚えておいてね!
おるてぃ
おるてぃ

抵抗値変化による電力の求め方 

ここから少し考え方が複雑になるけど,頑張ってついてきてね!
おるてぃ
おるてぃ
ペンギンくん
ペンギンくん
  はーい!(また面倒なことを教えられるのか……)

電力は,先ほど示したP=EIの式で求められますが,抵抗値が変わると電流Iも変化するため,そこに注意して電力を求める必要があります。実際に例題を見てみましょう。

例題3:電圧100Vで200Wの電熱器がある。電圧を変えずに針金の本数を2倍にしたときの電力[W]はいくらか。

まず,電気抵抗の求め方について確認しておきましょう。

【電気抵抗】
$$R=\rho \times \frac{L}{S}$$
R:電気抵抗[Ω]
ρ(ロー):電気抵抗率[Ω・m]
L:長さ[m]
S:断面積[m2]※ρは物質によりそれぞれ一定の値を取る。

この式は丸々覚えなくてもいいのですが,電気抵抗はその物質の長さに比例し,断面積に反比例するということは必ず覚えておきましょう!

では,実際に問題を解いていきましょう。

電圧100Vで200Wの電力を消費するので,ここを流れる電流Iは

$$I=\frac{P}{E}=\frac{200}{100}=2\,\mathrm{A}$$

これより,この電熱器の抵抗値Rは

$$R=\frac{E}{I}=\frac{100}{2}=50Ω$$

本問では本数が2倍=断面積が2倍になっているので,抵抗値は$\frac{1}{2}$となるため,本数が2倍となった時の抵抗値R’は

$$R’=\frac{1}{2}R=25Ω$$

後は,R’のときの電流I’を求めてから電力Pを求めればOKです。よって,

$$I’=\frac{E}{R’}=\frac{100}{25}=4\,\mathrm{A}$$
$$P=EI’=100\times 4=400\,\mathrm{W}$$

となります。

ペンギンくん
ペンギンくん
  結構面倒だね……。
抵抗値が何倍になるかさえわかれば後はオームの法則と電力を求める公式を使うだけだから計算自体は簡単だよ!
おるてぃ
おるてぃ

電圧変化による電力の求め方

抵抗値同様,電圧が変化したときも電力が変わるから注意してね!
おるてぃ
おるてぃ
ペンギンくん
ペンギンくん
  覚えること多いなぁ。

電力は,先ほど示したP=EIの式で求められますが,電圧が変わると電流Iも変化するため,そこに注意して電力を求める必要があります。実際に例題を見てみましょう。

例題4:電圧100Vで200Wの電熱器がある。変圧器を用いて電圧を50Vにしたときの電力[W]はいくらか。

まずはこの電熱器の抵抗値を求めます。

$$I=\frac{P}{E}=\frac{200}{100}=2\,\mathrm{A}$$
$$R=\frac{E}{I}=\frac{100}{2}=50Ω$$

次に,この抵抗に50Vの電圧をかけた時の電流I’を求めます。$$I’=\frac{E’}{R}=\frac{50}{50}=1\,\mathrm{A}$$最後に,電圧(変圧後)と電流(変圧後)を掛け合わせればOKなので,

$$P=E’I’=50\times 1=50\,\mathrm{W}$$

となります。

注意したいのは,最初で求めた電流(本問では2A)と変圧後の電圧(本問では50V)をそのまま掛け合わせてはいけないということです。必ず抵抗を求めてから変圧後の電流を求める手順が必要です。

練習問題

このページの復習だよ。解けるかな?
おるてぃ
おるてぃ

問1 抵抗4個を接続した直流回路を図に示す。回路のa-b間の電位差が0Vであるとき,抵抗Rの両端電圧[V]はどれか。(第60回臨床検査技師国家試験am96)

問1

出典:厚生労働省ホームページ 第60回臨床検査技師国家試験問題および正答について 午前問題(https://www.mhlw.go.jp/seisakunitsuite/bunya/kenkou_iryou/iryou/topics/dl/tp140512-05a.pdf)

1.1.0
2.1.5
3.2.0
4.2.5
5.3.0

解答を見る

解答:5
回路を見て,a-b間の電位差が0Vであることから,平衡状態のホイートストンブリッジと気が付ければ解答は容易です。
まず,平衡状態のホイートストンブリッジの公式より,

$$100\times R=60\times 250$$
$$R=150Ω$$

次に,250ΩとR(150Ω)の部分に注目します。

 

問1a
この2つの電圧比は抵抗比に等しいことから,

$$V_1:V_R=250:150=5:3$$

並列回路にかかる電圧は等しいので,下の直列部分にかかる電圧は8V。

 


よって,

$$V_R=8\times \frac{3}{5+3}=3\,\mathrm{V}$$

となります。

【別解】オームの法則を用いてRの両端電圧を求める
※R=150Ωを求めるところまでは同じです。
250ΩとRの直列部分の合成抵抗は400Ω。
そこにかかる電圧は8Vであるため,流れる電流は
$$I=\frac{8}{400}=20\,\mathrm{mA}$$
問1c
直列部分に流れる電流は一定であることから,Rにかかる電圧VR
$$V_R=20\,\mathrm{m}\times 150=3000\,\mathrm{mV}=3\,\mathrm{V}$$

ホイートストンブリッジの知識だけでなく,医療工学解説-計算1(電気回路)で述べた知識も必要となるので,わからない部分があれば確認しておいてくださいね。

 

問2 図のab間の合成抵抗[Ω]はどれか。(第32回臨床工学技士国家試験am50)

問2

出典:厚生労働省ホームページ 臨床工学技士国家試験問題及び正答肢 第32回午前問題(https://www.jaame.or.jp/rinsyo/siken17/32am.pdf)

1.1.0
2.2.0
3.3.0
4.4.0
5.5.0

解答を見る

解答:4
回路を見て,まずはホイートストンブリッジの平衡条件を満たすかどうかを確かめます。
すると,$2\times 12=3\times 8$が成り立つので,平衡状態であることが分かります。この場合,真ん中にある抵抗(6.0Ω)は完全に無視できるので,以下のように回路を変換できます。

問2aこうなれば,基本的な合成抵抗の求め方の図になるので,後は,直列部分→並列部分と合成抵抗を求めればOKです。
直列部分は,上側が5Ω,下側が20Ω。
よって,回路全体の合成抵抗は

$$R=\frac{5\times 20}{5+20}=\frac{100}{25}=4Ω$$

となります。

 

問3 電圧100Vで500Wの電熱器がある。電圧を変えずに針金の長さを半分にした場合の電力はどれか。(第56回臨床検査技師国家試験pm95)

1.125W
2.250W
3.500W
4.1,000W
5.2,000W

解答を見る

解答:4
まずは電熱器の抵抗値を求めます。

$$I=\frac{P}{E}=\frac{500}{100}=5\,\mathrm{A}$$
$$R=\frac{E}{I}=\frac{100}{5}=20Ω$$

針金の長さと抵抗値は比例するため,針金の長さが0.5倍になれば抵抗値も0.5倍。よって,針金の長さを半分にした時の電熱器の抵抗R’はR’=10Ω。この時に流れる電流I’は

$$I’=\frac{E}{R’}=\frac{100}{10}=10\,\mathrm{A}$$

ゆえに,電力P’は

$$P’=EI’=100\times 10=1000\,\mathrm{W}$$

となります。

 

問4 図の回路で2Ωの抵抗の消費電力が2Wである。電源電圧E[V]はどれか。(第29回臨床工学技士国家試験pm46)

問4

出典:厚生労働省ホームページ 臨床工学技士国家試験問題及び正答肢 第29回午後問題(https://www.jaame.or.jp/rinsyo/siken17/29pm.pdf)

1.2
2.3
3.4
4.5
5.6

解答を見る

解答:4
抵抗値のみわかっていて,電圧と電流が分からない状況です。ただ,2Ωの抵抗の消費電力が分かっているので,後はここにかかる電圧がわかれば一気に解けそうですね。
ということで,まずは図のように電圧と電流を定義し,V1から求めていきます。

問4a
オームの法則より,

$$I_1=\frac{V_1}{2}$$

電力を求める式より,

$$P=V_1I_1=\frac{V_1^2}{2}$$
$$2=\frac{V_1^2}{2}$$
$$V_1=2\,\mathrm{V}$$

次に,並列部分のそれぞれの合成抵抗を求めていきます。
上側の合成抵抗R1

$$R_1=\frac{2\times 4}{2+4}=\frac{4}{3}Ω$$

下側の合成抵抗R2は$$R_2=\frac{3\times 6}{3+6}=2Ω$$

 

問4b

直列回路では,抵抗比=電圧比であるから

$$V_1:V_2=\frac{4}{3}:2=2:3$$

V1=2Vより,V2=3V。
よって,電源電圧$E=V_1+V_2=5\,\mathrm{V}$となります。

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